Estudio de las curvas geodésicas y los tensores curvatura de Riemann y Ricci en variedades semiriemannianas

Abstract

En este trabajo partimos de los conocimientos adquiridos en la asignatura de Geometr´ıa diferencial y topolog´ıa para realizar un estudio de las curvas geod´esicas y la curvatura de ciertas variedades. Comenzaremos introduciendo la generalizaci´on del concepto de superficie que se vio en dicha asignatura a dimensiones superiores, variedades, para posteriormente centrarnos en las variedades diferenciables difeomorfas a R 4 e introduciremos el concepto de tensor m´etrico para poder estudiar las propiedades de estas, enfoc´andonos en las curvas geod´esicas y el tensor curvatura. Para poder realizar un estudio m´as detallado se desarrollaron una serie de funciones de Python para calcular autom´aticamente los s´ımbolos de Christoffel, las ecuaciones de las curvas geod´esicas y los tensores de curvatura, as´ı como la curvatura escalar. Finalmente, las pondremos en pr´actica estudiando diferentes m´etricas: la m´etrica de Poincar´e, la m´etrica de Minkowski y la m´etrica de Schwarzschild.