Introducción a la geometría de variedades
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Mostrar el registro completo del ítemcomunitat-uji-handle:10234/158176
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TFG-TFMMetadatos
Título
Introducción a la geometría de variedadesAutoría
Tutor/Supervisor; Universidad.Departamento
López Ortí, José Antonio; Universitat Jaume I. Departament de MatemàtiquesFecha de publicación
2023-07-24Editor
Universitat Jaume IResumen
En el presente trabajo se aborda el estudio de las variedades diferenciables. Estas son la generalización del estudio de la geometría de curvas y superficies, la cual se ha hecho de modo local en cursos anteriores a ... [+]
En el presente trabajo se aborda el estudio de las variedades diferenciables. Estas son la generalización del estudio de la geometría de curvas y superficies, la cual se ha hecho de modo local en cursos anteriores a través de parametrizaciones de las mismas. La extensión natural de estas parametrizaciones nos lleva al concepto de carta.
Las variedades diferenciables aparecen de modo natural en análisis de varias variables cuando tenemos un subconjunto de Rn definido mediante un conjunto de k funciones F1, . . . , Fk con diferenciable Fk : R
n → R para k = 1, . . . , k, con k < n cuyos gradientes son independientes en cada punto del conjunto M = F−1 1 (0) ∩ · · · ∩ F −1 k (0).
El Teorema de la Función Implícita nos asegura la existencia de cartas en el entorno de cada punto, esto es que en cada punto de M hay un entorno abierto del mismo donde hay n − k variables independientes en función de las cuales podremos determinar el valor del resto de variables. Las variables independientes citado anteriormente, nos proporcionará un sistema de coordenadas locales alrededor del punto considerado al cual denominaremos carta.
En los capítulos posteriores se define de modo abstracto el concepto de variedad diferenciable, de atlas y de función diferenciale.
Posteriormente, se define vector tangente a una variedad en un punto. a partir de este concepto se define se espacio tangente a una variedad en un punto, así como u dual espacio cotangente.
En la siguiente sección se define el concepto de fibrado tangente y cotangente como la unión de los espacios tangentes y cotangentes a la variedad, inicial, la cual llamareremos variedad de base, en todos sus puntos. Estos conjuntos se dotaran de una estructura de variedad diferenciable inducida por la estructura diferencable de variedad de base.
Finalmente, se introduce el concepto de aplicación diferenciable entre variedades, así como el de imagen recíproca.
Este trabajo no es más que una primera introducción al cálculo en variedades, el cual es de enorme riqueza y cuyas aplicaciones abarcan amplios campos. [-]
Palabras clave / Materias
Grau en Matemàtica Computacional | Grado en Matemática Computacional | Bachelor's Degree in Computational Mathematics | Geometría Diferencial | Variedades Diferenciables | Fibrado Tangente | Fibrado Cotangente | Diferencial de una aplicación entre variedades | Differential geometry | Differential manifolds | Tangent bundle | Cotangent bundle | Differential of a map between manifold
Descripción
Treball Final de Grau en Matemàtica Computacional. Codi: MT1054. Curs 2022-2023
Tipo de documento
info:eu-repo/semantics/bachelorThesisDerechos de acceso
info:eu-repo/semantics/openAccess