Grafos asociados a las clases de conjugación de subgrupos normales en grupos finitos

Abstract

Esta memoria es el resultado de aproximadamente un curso de trabajo contextualizado en la culminación del Máster en Matemática Computacional. Nuestro cometido se encuentra enmarcado dentro de la Teorí a de Grupos, la cual es muy extensa dentro del área del Álgebra. De manera más concreta, esta memoria se desarrolla en torno a la línea de investigación sobre los tamaños de las clases de conjugación de un grupo finito, materia sobre la cual se han escrito numerosos artículos en los últimos 30 años. Nosotros hemos aportado nuevas herramientas a este estudio, como el uso del software de matemática computacional GAP para lograr ciertos avances en este campo. El estudio de propiedades sobre la estructura de un grupo a partir de sus clases de conjugación es un campo clásico. Durante la década de los 90 resurgió el interés por el estudio de ciertas propiedades aritméticas de las clases de conjugación y su influencia en la estructura del grupo. Lejos de ser un tema cerrado, en las dos ultimas décadas se han obtenido nuevos e interesantes resultados. Cuanta información sobre el grupo podemos obtener conociendo los tamaños de sus clases de conjugación. Los orí genes se remontan a Sylow y Burnside. En 1872 Sylow estudió que se puede saber de un grupo si se tiene información acerca de los tamaños de las clases de conjugación, y en 1904 Burnside demostró que se podrán obtener fuertes resultados si había información específica sobre el tamaño de una sola clase de conjugación. Landau en 1903 acotó el orden del grupo en términos de la cantidad de clases de conjugación, mientras que en 1919 Miller hizo un análisis detallado de los grupos con muy pocas clases de conjugación. Varios años después, en 1953, Baer e Itbo publicaron trabajos sobre este tema, pero con diferentes condiciones en los tamaños,A partir de la década de los 80, numerosos autores han definido y hecho uso de grafos que proporcionan información acerca de las clases de conjugación de un grupo y, por consiguiente, del grupo. Este trabajo se centra en la definición de un nuevo grafo que resulte explicativo en cuanto a lo referido a los tamaños de G-clases de conjugación de un subgrupo normal de un grupo finito dado. Hasta el momento, este grafo no ha sido ni definido ni consecuentemente estudiado. Estudios recientes ponen de manifiesto el potente control que ejerce el conjunto de G-clases de conjugación del subgrupo normal de un grupo finito sobre la estructura del mismo. Un ejemplo de ello lo dan Shahryari y Shahabi en [30] en donde, para un grupo finito G y un subgrupo normal N de G el cual es unión de tres G-clases de conjugación, determinan la estructura de N. De la misma manera, se han publicado trabajos que revelan la importancia del conjunto de tamaños de G-clases del normal de un grupo finito