Ley de reciprocidad cuadrática y aplicaciones

Abstract

El objetivo de este trabajo es introducir todos los conceptos y teoremas necesarios para poder dar una demostración rigurosa y autocontenida de la ley de reciprocidad cuadrática y ver cómo puede ser una herramienta útil para obtener resultados tales como el problema de los dos cuadrados, el problema de determinar cuándo una ecuación en congruencias de segundo grado tiene solución, probar ciertas propiedades sobre los números primos y hasta para obtener información sobre el conjunto de ceros de ciertas ecuaciones elípticas. Acompañamos los resultados con ejemplos elegidos para mejorar la comprensión de los mismos, donde hemos usado el programa GAP por ser muy conveniente para este tipo de matemáticas, e incluimos los códigos para que el lector pueda fácilmente comprobarlos.

The goal of this survey is to introduce all the necessary concepts and theorems to provide a rigorous and self-contained proof of the Quadratic Reciprocity Law and see how this is a useful tool to obtain results such as the problem of the two squares, the problem of determining when a second degree congruence equation has any solution, to prove some properties about prime numbers and even to obtain information about the zero set of an elliptic curve. We include examples specifically chosen to improve the understanding of those theorems. These examples have been created with the program GAP due to its convenience for this topic of mathematics and we include the codes so the reader can readily test them.